수학적 귀납법 예제

그 이름은 그렇지 않으면 제안 할 수 있지만, 수학 유도철학에 사용되는 유도 추론의 형태로 오해해서는 안된다 (또한 유도의 문제 참조). 수학적 유도는 형식 적 증명에 사용되는 추론 규칙입니다. 수학적 유도에 의한 증거는 사실, 공제 추론의 예입니다. [4] 수학적 유도는 우리가 사다리에서 원하는만큼 높이 올라갈 수 있다는 것을 증명하며, 우리가 바닥 렁(기초)에 올라갈 수 있고 각 렁에서 다음(단계)까지 올라갈 수 있음을 증명합니다. 유도 단계는 n의 모든 값에 대해 증명되어야 합니다. 이를 설명하기 위해 Joel E. Cohen은 모든 말이 동일한 색상임을 수학 유도로 증명하는 다음 인수를 제안했습니다:[16] 기본 케이스와 유도 단계가 모두 수행되었기 때문에 수학 유도에 의해 문 P(n)는 모든 자연 번호 n. Q.E.D. 보유합니다. 이 방법은 나무와 같은 보다 일반적인 잘 설립 된 구조에 대한 진술을 증명하기 위해 확장 될 수있다; 구조 유도로 알려진이 일반화는 수학적 논리 및 컴퓨터 과학에 사용됩니다. 이 확장된 의미에서의 수학적 유도는 재귀와 밀접한 관련이 있습니다. 어떤 형태로, 수학 유도, 컴퓨터 프로그램에 대한 모든 정확성 증명의 기초입니다. [3] 수학 유도는 수학적 증명 기법이다.

기본적으로 속성 P(n)가 모든 자연 수 n, 즉 n = 0, 1, 2, 3 등 모든 자연 수에 대해 보유한다는 것을 증명하는 데 사용됩니다. 은유는 도미노 가을이나 사다리를 오르는 은유와 같은 수학적 유도의 개념을 이해하는 데 비공식적으로 사용될 수 있습니다: 예, P(1)는 사실입니다! 처음 두 단계를 완료했습니다. 유도 단계로! 수학적 유도는 다음 문, P(n)가 모든 자연 수 n에 대해 보유한다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다. 기원전 370년, 플라톤의 파르메니데스는 암시적 유도 증거의 초기 예를 포함했을 수 있습니다. [5] 유클리드의 [6] 소수의 수가 무한하고 Bhaskara의 “순환 방법”에서 수학 유도의 초기 암시적 흔적을 찾을 수 있습니다. [7] 반대 반복 기술, 오히려 위로보다는 카운트 다운, 그것은 주장 했다 Sorites 역설에서 발견 1,000,000 모래의 곡물 힙을 형성 하는 경우, 그리고 힙에서 한 곡물을 제거 하 여 그것을 왼쪽, 다음 모래의 단일 곡물 (또는 아무 곡물) h를 형성 Eap. 엄밀히 말하면, P가 모든 n < m의 사실이라면 P가 m의 사실이라는 명제의 공허한 특수 사례이기 때문에 기본 사례를 증명하기 위해 transfinite 유도에 필요하지 않습니다. n < m의 값이 없기 때문에 역예로 사용될 수 있습니다. 그래서 특별한 경우는 일반적인 경우의 특별한 경우입니다. m = j – 4 {디스플레이 스타일 m =j-4}를 선택하고 15 < j → 12 ≤ j → 4 < j {디스플레이 스타일 15 <jto 12leq j-4<j}를 선택하면 S (j – 4) {displaystyle S (j-4)}}가 유도 가설에 의해 보유한다는 것을 보여줍니다. 즉, 합계 j – 4 {디스플레이 스타일 j-4}는 4 {displaystyle 4}와 5 {displaystyle 5} 달러 동전의 일부 조합에 의해 형성 될 수있다.

그런 다음 해당 조합에 4 {displaystyle 4} 달러 동전을 추가하기만 하면 합계 j {displaystyle j}가 생성됩니다. 즉, S (j) {디스플레이 스타일 S(j)}를 보유합니다. Q.E.D. 완전한 유도에 의한 또 다른 증거는 문이 모든 작은 n을 더 철저하게 보유한다는 가설을 사용합니다. “1보다 큰 모든 자연 수는 (하나 이상의) 소수의 산물이며, 이는 산술의 기본 정리의 “존재”부분입니다. 유도 단계를 증명하기 위해 유도 가설은 주어진 n > 1의 경우 모든 작은 n > 1에 대해 문이 보유한다는 것입니다. m이 소수인 경우 는 확실히 소수의 제품이며, 그렇지 않은 경우, 정의에 의해 그것은 제품입니다 : m = n1n2, 여기서 요인중 어느 것도 1과 동일하지 않습니다; 따라서 둘 다 m과 같지 않으므로 둘 다 m보다 작습니다.